# Tema 9
09-3  La función integral. Aplicaciones

## Definición

kill(all)$

F(x):=integrate(f(t), t, a, x);

## Ejemplo 9.3.1

kill(all)$

f(t):=2*t^2 - 3*t + 4$
'( integrate(f(t), t, -3, x) ) = integrate(f(t), t, -3, x) ;

define (F(x) ,  integrate(f(t), t, -3, x)) ;

f(x):=2*x^2 - 3*x + 4$
wxplot2d([f(x),F(x)], [x, -3, 3], [y, 0, 70] , [legend, "f(x)" , "F(x)"] , [style, [lines, 2]] ,
 [plot_format, gnuplot],  [gnuplot_preamble, "set size ratio 1; set grid"] , [nticks, 300] )$

diff(F(x), x);

ratsimp(%);

'integrate(f(t), t, -3, 3)=integrate(f(t), t, -3, 3);
'F(3)=F(3);

## Ejemplo 9.3.2

kill(all)$

f1(t):=6$       f2(t):=3$
f(t):=if t<=2 then f1(t) else f2(t);

integrate(f1(t), t, 0, x);
integrate(f2(t), t, 2, x);

f1(x):=6$       f2(x):=3$
f(x):=if x<=2 then f1(t) else f2(t)$

F1(x):=6*x$     F2(x):=F1(2)+3*(x-2)$
F(x):=if x<=2 then F1(x) else F2(x);

wxplot2d([f(x), F(x)], [x, 0, 4], [y, 0, 25] , [legend, "f(x)" , "F(x)"] , [style, [lines, 2]] ,
 [plot_format, gnuplot],  [gnuplot_preamble, "set size ratio 1; set grid"] , [nticks, 300])$

## Derivación de funciones definidas con integrales

### Ejemplo 9.3.3

kill(all)$

f(t):=(log(1+t))/(2*t^2);
F(x):=integrate(f(t), t, 2, %e^x);

assume(%e^x - 2 > 0)$
DF(x)=diff(F(x), x);

ratsimp(%);

### Ejemplo 9.3.4

kill(all)$

F3(x):=integrate(f(t), t, u(x), v(x));

f(t):=exp(t)+1$     u(x):=x+1$        v(x):=3*x^2+2*x-1$
diff(F3(x),x);

ratsimp(%);