# Tema 1
Exercici 01.05

kill(all)$

## apartat a)

f1(x):=(1/3)*x^2;       f2(x):=sqrt(5-x^2);     f(x):=f2(x) - f1(x);

Eq1:x^2=3*y;        Eq2:x^2+y^2=5;

Eq3:3*y+y^2=5;      solve([Eq3], [y]);

No tindrem en compte la solució negativa, veure gràfica més a baix

y1=y1:(sqrt(29)-3)/2, numer;

Eq4:(sqrt(29)-3)/2=1/3*x^2;     solve([Eq4], [x]);

x1=x1:-(sqrt(3)*sqrt(sqrt(29)-3))/sqrt(2), numer;
x2=x2:(sqrt(3)*sqrt(sqrt(29)-3))/sqrt(2), numer;

Per tant, els punts on es tallen les dues corbes son (x1,y1), (x2,y1)

wxplot2d([f1(x),f2(x)], [x,-2, 2], [y, -1, 4], [legend, "f1(x)" , "f2(x)"] , [style, [lines, 2]] ,
[gnuplot_preamble, "set size ratio 1; set grid"], [nticks, 300] )$

'integrate(f(x), x, 0,x2) = integrate(f(x), x, 0,x2);

%, numer;

Area=%*2;

## apartat b)

kill(all)$

f1(x):=sqrt(5-x^2);         f2(x):=sqrt(5-(x-sqrt(5))^2);

Eq1: y^2=5-x^2;         Eq2: (x-sqrt(5))^2+y^2=5;

Eq3:(x-sqrt(5))^2-x^2=0;        solve([Eq3], [x]);

'x0=x0:sqrt(5)/2;

Eq4:y^2=5-(sqrt(5)/2)^2;        solve([Eq4], [y]);

'y1=y1:-sqrt(15)/2;      'y2=y2:sqrt(15)/2;

Els punts on s'encreuen les dues circumferències son (x0,y1), (x0,y2)

Eq5:sqrt(5-x^2)=0;      solve([Eq5], [x]);

Punts de tall de f1(x) amb l'eix d'abcisses

wxplot2d([f1(x),f2(x)], [x,-3,5], [y, -2,5, 2.5], [legend, "f1(x)" , "f2(x)"] , [style, [lines, 2]] ,
[gnuplot_preamble, "set size ratio 1; set grid"], [nticks, 300] )$

Podem observar que la part negativa de les circumferències també l'hem de considerar, 
encara que amb el gràfica no es pugui apreciar.
En conseqüència, la integral quedarà de la següent manera:

'integrate(f1(x),x, x0,sqrt(5))=integrate(f1(x),x, x0,sqrt(5));

Area=((5*%pi)/4-(10*%pi+3*sqrt(5)*sqrt(15))/24)*4;

%, numer;

## apartat c)

kill(all)$

Eq1: x=-y^2+3*y;        Eq2:x=y^2-3*y+3;

Eq3: -y^2+3*y=y^2-3*y+3;        solve([Eq3], [y]);

'y1=y1:-(sqrt(3)-3)/2;          'y2=y2:(sqrt(3)+3)/2;

Eq4: x=3*y1-y1^2;

expand(%);

Eq5: x=3*y2-y2^2;

expand(%);

'x0=x0:3/2;

Punts on s'encreuen les dues paràboles són: (x0,y1), (x0,y2)

h1(x):=(3+sqrt(9-4*x))/2;       h2(x):=(3-sqrt(9-4*x))/2;       H(x):=h1(x)-h2(x);

g1(x):= (3+sqrt(9-4*(-x+3)))/2;    g2(x):=(3-sqrt(9-4*(-x+3)))/2;    G(x):=g1(x)-g2(x);

wxplot2d([h1(x),h2(x), g1(x), g2(x)], [x,-2,5], [y, -2,5, 2.5], [legend, "h1(x)" , "h2(x)" , "g1(x)" , "g2(x)"] , [style, [lines, 2]] ,
[gnuplot_preamble, "set size ratio 1; set grid"], [nticks, 300] )$

f1(y):=-y^2+3*y;     f2(y):=y^2-3*y+3;      F(y):= f1(y)-f2(y);

'integrate(F(y),y, y1,y2)=integrate(F(y),y, y1,y2);

Calcularem ara la integral a partir de les expressions en funció de "x"

Eq6: (3+sqrt(9-4*(-x+3)))/2=(3-sqrt(9-4*(-x+3)))/2;     solve([Eq6], [x]);

Eq7: 3/4=y^2-3*y+3;     solve([Eq7]);

Vèrtex de la paràbola g(x)=(3/4, 3/2)

Eq8: (3+sqrt(9-4*x))/2=(3-sqrt(9-4*x))/2;       solve([Eq8], [x]);

Eq9: -y^2+3*y=9/4;      solve([Eq9], [y]);

Vèrtex de la paràbola h(x)= (9/4,3/2)

'integrate(G(x),x, 3/4,3/2)=integrate(G(x),x, 3/4,3/2);

'A1=A1:sqrt(3)/2;

'integrate(H(x),x, 3/2,9/4)=integrate(H(x),x, 3/2,9/4);

'A2=A2:sqrt(3)/2;

'A=A:A1+A2;

Per tant, hem calculat la integral per dos mètodes diferents i ens ha donat el mateix resultat

Conclusió: el càlcul de la integral en funció de "y" és més fàcil que en funció de "x", en aquest cas.