# Ejercicio 08.13

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## Apartado a)

Designamos el triángulo OAB, donde O = (0,0), A está sobre la recta y=2*x, 
B está sobre el eje de abscisas, es decir, B = (0,yB), con yB>0 y el lado 
AB pasa por el punto  P(6,2)

Ecuación del lado OA

y=2*x;

Ecuación del lado AB

y=m*x+b;

Condición para pasar por P:

Eq1:  2 = m*6 + b;

solve (Eq1, b);

Por lo tanto, la ecuación del lado AB es y=m*x+ (2 - 6m)

El vértice A es la intersección de los lados OA y AB. 
Resolvemos el sistema de ecuaciones:

Eq2a : y=2*x $
Eq2b : y=m*x+ (2 - 6*m) $
solve ([Eq2a, Eq2b] , [x,y]);

El vértice B es la intersección de los lados OB y AB. 
Sistema que hace falta resolver:

Eq3a : y=0 $
Eq3b : y=m*x+ (2 - 6*m) $
solve ([Eq3a, Eq3b] , [x,y]);

La longitud de la base del triángulo es el lado OB. 
La altura del triángulo es la ordenada del punto A
El Área del triángulo es:

A(m) :=(1/2)*((6*m-2)/m)*((12*m-4)/(m-2));

DA(m) = diff(A(m), m);

ratsimp(%);

Eq4: -(48*m^2+8*m-8)/(m^4-4*m^3+4*m^2) = 0;

solve(Eq4,m);

m=-1/2, es la solución correcta, ya que la pendiente ha de ser negativa 
para poder formar triángulo. 
La ecuación del lado AB es:

y=m*x+ (2 - 6*m);

m0 = m0 : -1/2;

y=-1/2*x+5;

Las coordenadas de los vértices A y B son:

A=[(6*m-2)/(m-2),(12*m-4)/(m-2)];

B=[(6*m-2)/m, 0];

Para verificar que el extremo es un mínimo local:

DA(m):=-(48*m^2+8*m-8)/(m^4-4*m^3+4*m^2);

diff(DA(m), m);

ratsimp(%);

D2A(m):=(96*m^3+24*m^2-48*m+32)/(m^6-6*m^5+12*m^4-8*m^3);

D2A(m0);

A(m0);

Representación gráfica de la función área:

wxplot2d([A(m)], [m,-1, -0.2], [y, 18, 25], [gnuplot_preamble, "set grid;"])$