# Exercici 08.13

kill(all)$

## apartat a)

Designem el triangle OAB, on O = (0,0), A està sobre la recta y=2*x, 
B està sobre l'eix d'abscisses, és a dir, B = (0,yB), amb yB>0 i el costat 
AB passa pel punt  P(6,2)

Equació del costat OA

y=2*x;

Equació del costat AB

y=m*x+b;

Condició per passar per P:

Eq1:  2 = m*6 + b;

solve (Eq1, b);

Per tant, l'equació del costat AB és y=m*x+ (2 - 6m)

El vèrtex A és l'intersecció dels costats OA i AB. 
Resolem el sistema d'equacions:

Eq2a : y=2*x $
Eq2b : y=m*x+ (2 - 6*m) $
solve ([Eq2a, Eq2b] , [x,y]);

El vèrtex B és l'intersecció dels costats OB i AB. 
Sistema que cal resoldre:

Eq3a : y=0 $
Eq3b : y=m*x+ (2 - 6*m) $
solve ([Eq3a, Eq3b] , [x,y]);

La longitud de la base del triangle és el costat OB. 
L'altura del triangle és l'ordenada del punt A
L'Àrea del triangle és:

A(m) :=(1/2)*((6*m-2)/m)*((12*m-4)/(m-2));

DA(m) = diff(A(m), m);

ratsimp(%);

Eq4: -(48*m^2+8*m-8)/(m^4-4*m^3+4*m^2) = 0;

solve(Eq4,m);

m=-1/2, és la solució correcta, ja que el pendent ha de ser negatiu 
per poder formar triangle. 
L'equació del costat AB és:

y=m*x+ (2 - 6*m);

m0 = m0 : -1/2;

y=-1/2*x+5;

Les coordenades dels vèrtex A i B són:

A=[(6*m-2)/(m-2),(12*m-4)/(m-2)];

B=[(6*m-2)/m, 0];

Per verificar que l'extrem és un mínim local:

DA(m):=-(48*m^2+8*m-8)/(m^4-4*m^3+4*m^2);

diff(DA(m), m);

ratsimp(%);

D2A(m):=(96*m^3+24*m^2-48*m+32)/(m^6-6*m^5+12*m^4-8*m^3);

D2A(m0);

A(m0);

Representació gràfica de la funció àrea:

wxplot2d([A(m)], [m,-1, -0.2], [y, 18, 25], [gnuplot_preamble, "set grid;"])$