# Ejercicio 04.5

kill(all)$

a[n]:=sum(1/(n+k), k, 1, n);
makelist(a[n], n, 1, 5);
makelist(a[n], n, 1, 5), numer;

## Apartado a)

El análisis de los primeros términos pone de manifiesto 
que la sucesión parece monótona creciente.
Operando la diferencia a[n+1] - a[n] se comprueba
fácilmente que es positiva, haciendo que se confirme la 
monotonía creciente de la sucesión.

## Apartado b)

is(a[1]<1);

is(a[2]<1);

assume(n>1)$
assume(k>1)$
is(1/(n+k)<1/(n+1));

Esto permite concluir que a[n]<n/(n+1)<1
Por lo tanto, 0 <= a[n] < 1, para todo n.

## Apartado c)

La sucesión es convergente en virtud del 
Teorema de la convergencia monótona.

## Apartado d)

a[10], numer;

a[100], numer;

a[1000], numer;

a[10000], numer;

a[1000000], numer;

En conclusión: 0.69 < lim(a[n]) < 0.79