# Exercici 04.5

kill(all)$

a[n]:=sum(1/(n+k), k, 1, n);
makelist(a[n], n, 1, 5);
makelist(a[n], n, 1, 5), numer;

## Apartat a)

L'anàlisi dels primers termes posa de manifest 
que la successió sembla monòtona creixent.
Operant la diferència a[n+1] - a[n] es comprova
fàcilment que és positiva, fet que confirma la 
monotonia creixent de la successió.

## Apartat b)

is(a[1]<1);

is(a[2]<1);

assume(n>1)$
assume(k>1)$
is(1/(n+k)<1/(n+1));

Aixo permet concloure que a[n]<n/(n+1)<1
Per tant, 0 <= a[n] < 1, per a tot n.

## Apartat c)

La successió és convergent en virtut del 
Teorema de la convergència monòtona.

## Apartat d)

a[10], numer;

a[100], numer;

a[1000], numer;

a[10000], numer;

a[1000000], numer;

En conclusio: 0.69 < lim(a[n]) < 0.79