# Exercici 04.1

## Apartat a)

kill(all)$

a[1]:sqrt(2)$
a[n]:=sqrt(2*a[n-1]);
makelist(a[n], n, 1, 10);

a[2]-a[1], numer;
a[3]-a[2], numer;

Això permet pensar en la monotonia creixent de la successió.
El raonament es completa fàcilment per inducció

is(a[1]<5);

is(a[2]<5);

Per inducció es conclou fàcilment que a[n]<5 per a tot n

El teorema de la convergència monòtona permet afirmar 
la convergència de la successió.

L=sqrt(2*L);

eq1:L^2=2*L;

solve([eq1], [L]);

Conclusió: el limit de la successió es 2.

## Apartat b)

kill(all)$

a[1]:2$
a[n]:=(5+a[n-1])/2;
makelist(a[n], n, 1, 10);

a[2]-a[1], numer;
a[3]-a[2], numer;

Això permet pensar en la monotonia creixent de la successió.
El raonament es completa fàcilment per inducció

is(a[1]<10);
is(a[2]<10);

Per inducció es conclou fàcilment que a[n]<10 per a tot n

El teorema de la convergència monòtona permet afirmar 
la convergència de la successió.

eq2:L=(L+5)/2;

solve([eq2], [L]);

Conclusió: el limit de la successió es 5.