# Exercici 04.10

kill(all)$

f[1]:1$  f[2]:1$
f[n]:=f[n-1]+f[n-2];
makelist(f[n], n, 1, 10);

## Apartat a)

f[1]+f[2];
f[4]-1;

f[1]+f[2]+f[3];
f[5]-1;

f[1]+f[2]+f[3]+f[4];
f[6]-1;

Aplicant la hipòtesi d'inducció:
f[1] + f[2] + ... + f[n-1] = f[n+1] - 1
resulta immediatament l'expressió buscada.

## Apartat b)

R[n]:=f[n+1]/f[n];

limit(R[n], n, inf);

eq:L=1+1/L;

solve([eq], [L]);

Fi=Fi:(sqrt(5)+1)/2;

## Apartat c

Designem per "a" la longitud de la part curta i "b" la part llarga.
Si designem per x = b/a, aleshores el procediment és com segueix.

x=b/a;

b/a = (a+b)/b;

x=1+1/x;

ratsimp(%);

Eq: x^2 - x -1 =0;

solve([Eq], [x]);

La primera solució es descarta per ser un nombre negatiu.
La segona és el nombre auri, com es volia mostrar.