# Ejercicio 03.10

## a)

kill(all)$

La desigualdad dada es equivalente a la desigualdad

abs(x^2+6*x-1)<(x+3)^2;

Las raíces de x^2+6x-1=0 son

solve(x^2+6*x-1=0, x);

x1=x1:-sqrt(10)-3;  x2=x2:sqrt(10)-3;

Por lo tanto, si x<x1 o bien si x>x2 se cumple x^2+6x-1>0; 
en este caso hay que resolver la desigualdad

x^2+6*x-1<(x+3)^2;

expand(%);

Por lo tanto, esta condición se cumple siempre.
Ahora hay que estudiar el intervalo x1 < x < x2;
la desigualdad a resolver es

-(x^2+6*x-1)<(x+3)^2;

expand(%);

2*x^2+12*x+8>0;

solve(2*x^2+12*x+8=0, x);

x3=x3:-sqrt(5)-3;  x4=x4:sqrt(5)-3;

P(x):=2*x^2+12*x+8;
P((x3+x4)/2);

Por lo tanto, P(x) > 0 en si x<x3 o x>x4.
En definitiva, la desigualdad es cierta en el intervalo 
]-inf, x3[ U ]x4, +inf[.

## b)

kill(all)$

La desigualdad propuesta equivale a

abs(x^2-4*x+2)<(x+2)^2;

Las raíces del polinomio x^2-4x+2 son

solve(x^2-4*x+2=0, x);

x1=x1:-sqrt(2)+2;  x2=x2:sqrt(2)+2;

Por lo tanto, si x<x1 o bien si x>x2 se cumple x^2-4x+2>0; 
en este caso hay que resolver la desigualdad

x^2-4*x+2<(x+2)^2;

expand(%);

8*x+2>0;

Esta desigualdad se cumple si x > -1/4.
Por lo tanto, la desigualdad dada se cumple en 
el intervalo ]-1/4,x1[ U ]x2,+inf[.
Ahora hay que estudiar el intervalo ]x1,x2[ en el que
hay que estudiar la desigualdad

-(x^2-4*x+2)<(x+2)^2;

expand(%);

2*x^2+6>0;

Esta desigualdad se cumple siempre.
En definitiva, la desigualdad dada se cumple 
en el intervalo ]-1/4,+inf[