# Exercici 03-1-10

## a)

kill(all)$

La desigualtat donada és equivalent a la desigualtat

abs(x^2+6*x-1)<(x+3)^2;

Les arrels de x^2+6x-1=0 són

solve(x^2+6*x-1=0, x);

x1=x1:-sqrt(10)-3;  x2=x2:sqrt(10)-3;

Per tant, si x<x1 o be si x>x2 es compleix x^2+6x-1>0; 
en aquest cas cal resoldre la desigualtat

x^2+6*x-1<(x+3)^2;

expand(%);

Per tant, aquesta condició es compleix sempre.
Ara cal estudiar l'interval x1 < x < x2;
la desigualtat a resoldre és

-(x^2+6*x-1)<(x+3)^2;

expand(%);

2*x^2+12*x+8>0;

solve(2*x^2+12*x+8=0, x);

x3=x3:-sqrt(5)-3;  x4=x4:sqrt(5)-3;

P(x):=2*x^2+12*x+8;
P((x3+x4)/2);

Per tant, P(x) > 0 en si x<x3 o x>x4.
En definitiva, la desigualtat és certa en l'interval 
]-inf, x3[ U ]x4, +inf[.

## b)

kill(all)$

La desigualtat proposada equival a

abs(x^2-4*x+2)<(x+2)^2;

Les arrels del polinomi x^2-4x+2 són

solve(x^2-4*x+2=0, x);

x1=x1:-sqrt(2)+2;  x2=x2:sqrt(2)+2;

Per tant, si x<x1 o be si x>x2 es compleix x^2-4x+2>0; 
en aquest cas cal resoldre la desigualtat

x^2-4*x+2<(x+2)^2;

expand(%);

8*x+2>0;

Aquesta desigualtat es compleix si x > -1/4.
Per tant, la desigualtat donada es compleix en 
l'interval ]-1/4,x1[ U ]x2,+inf[.
Ara cal estudiar l'interval ]x1,x2[ en el qual
cal estudiar la desigualtat

-(x^2-4*x+2)<(x+2)^2;

expand(%);

2*x^2+6>0;

Aquesta desigualtat es compleix sempre.
En definitiva, la desigualtat donada es compleix 
en l'interval ]-1/4,+inf[