# Ejercicio 11.7

kill(all)$

## Apartado 1)

f(x,y,z):= x*y*z+sin(z-2)-x^2*y^2-x-y+1;

'f(1,1,2)=f(1,1,2);

'Jf(x,y,z) = Jfxyz : jacobian([f(x,y,z)],[x,y,z]);

'Jf(1,1,2)=Jf112:subst([x=1,y=1,z=2],Jfxyz);

load ("eigen")$     H=H:columnvector([x-1,y-1,z-2]);

Jf112.H = 0;

Por lo tanto la aproximación lineal es x+y-2z+2=0

## Apartado 2)

Plano tangente en el punto P=(1,1,2):

Jf112.H = 0;

Recta normal a la superficie en el punto P=(1,1,2)  (ecuaciones paramétricas) :

x = 1 + %lambda;
y = 1 + %lambda;
z = 2 - 2*%lambda;

## Apartado 3)

Comprobaremos que se cumplan las condiciones de la función implícita

1.La función f es del tipo Cr con r>=1

2. El punto cumple la ecuación:

'f(1,1,2)=f(1,1,2);

3. El determinante jacobiano de la matriz de derivadas respecto la variable que se quiere demostrar que se define como función implícita no es nulo:

'Jf(x,y,z)=Jfz:jacobian([f(x,y,z)],[z]);

'Jf(1,1,2)=Jf112:subst([x=1,y=1,z=2],Jfz);

Por lo tanto se cumplen las condiciones del teorema de la función implícita

depends([z],[x,y]);

DxEq1:diff(x*y*z+sin(z-2)-x^2*y^2-x-y+1,x);
DyEq1:diff(x*y*z+sin(z-2)-x^2*y^2-x-y+1,y);

Considerando el punto (x,y)=(1,1) donde z(1,1)=2 nos quedará:

'DxEq11=DxEq11:cos(2-2)*('diff(z,x,1))+('diff(z,x,1))+2-2-1;
'DyEq12=DyEq12:cos(2-2)*('diff(z,y,1))+('diff(z,y,1))+2-2-1;

Sist01:[DxEq11,DyEq12];

solve(Sist01,['diff(z,x),'diff(z,y)]);

'Jz(1,1)=Jzxy:matrix([1/2,1/2]);

load ("eigen")$
H1=H1:columnvector([x-1,y-1]);

Por lo tanto el polinomio de Taylor de z en el punto (1,1) será:

T1=2+Jzxy.H1;

ratsimp(%);