# Ejercicio 11.16

kill(all)$

## Apartado a)

f1(x,y):=x^2+y^2;

La función es diferenciable y, por lo tanto, continua en su dominio.
El subconjunto K es cerrado y acotado y, por lo tanto, compacto. En consecuencia, la función
tiene extremos absolutos en este subconjunto.

Dxf1:diff(f1(x,y),x);
Dyf1:diff(f1(x,y),y);

Punto crítico igual a P(0,0).
Calcularemos la función de Lagrange y la estudiaremos en los puntos frontera de K: Q1(1,0),Q2(0,1).

L(x,y,a):=f1(x,y)+a*(x+y-1);
Eq1a:diff(L(x,y,a),x)=0;  Eq1b:diff(L(x,y,a),y)=0;  Eq1c:diff(L(x,y,a),a)=0;
algsys([Eq1a,Eq1b,Eq1c], [x,y,a]);

'f1(1/2,1/2)=f1(1/2,1/2);

'f1(1,0)=f1(1,0);
'f1(0,1)=f1(0,1);

Por lo tanto tendremos el mínimo absoluto en (1/2,1/2) con f1mín=1/2
y un máximo absoluto en Q1 y Q2 con f1màx=1.

## Apartado b)

kill(all)$

f2(x,y):= x^2+y^2;

Dxf2:diff(f2(x,y),x);
Dyf2:diff(f2(x,y),y);

Eq1:2*x=0;
Eq2:2*y=0;

Sist01:[Eq1,Eq2];
solve(Sist01);

El punto P=(0,0) no pertenece al interior del conjunto K y por lo tanto no hay
puntos estacionarios en el interior.
Estudiaremos los puntos frontera: {y+x^2-1=0} U {y=0}.

L1(x,y,a1):=f2(x,y)+a1*(y+x^2-1);
EqL1a:diff(L1(x,y,a1),x)=0;  EqL1b:diff(L1(x,y,a1),y)=0;  EqL1c:diff(L1(x,y,a1),a1)=0;
algsys([EqL1a,EqL1b,EqL1c], [x,y,a1]);

Por lo tanto los puntos a estudiar serán P1(0,1), P2(-1/sqrt(2),1/2), P3(1/sqrt(2),1/2).

'f2(0,1)=f2(0,1);
'f2(-1/sqrt(2),1/2)=f2(-1/sqrt(2),1/2);
'f2(1/sqrt(2),1/2)=f2(1/sqrt(2),1/2);

L2(x,y,a2):=f2(x,y)+a2*y;
EqL2a:diff(L2(x,y,a2),x)=0;  EqL2b:diff(L2(x,y,a2),y)=0;  EqL2c:diff(L2(x,y,a2),a2)=0;
algsys([EqL2a,EqL2b,EqL2c], [x,y,a2]);

Por lo tanto el punto a estudiar será Q1=(0,0).

'f2(0,0)=f2(0,0);

Además, hay que considerar los puntos singulares de la frontera de K, que son P4(-1,0), P5(1,0).

'f2(-1,0)=f2(-1,0);
'f2(1,0)=f2(1,0);

Por lo tanto tendremos unos máximos absolutos en P1, P4 y P5 y un mínimo absoluto en Q1.

## Apartado c)

kill(all)$

f3(x,y):=x+y;

Dxf3:diff(f3(x,y),x);
Dyf3:diff(f3(x,y),y);

Como que la derivada no se anula nunca, no tendremos puntos críticos en el interior de K.

L1(x,y,a1):= f3(x,y)+a1*(x^2+y^2-1);
EqL1a:diff(L1(x,y,a1),x)=0;  EqL1b:diff(L1(x,y,a1),y)=0;  EqL1c:diff(L1(x,y,a1),a1)=0;
algsys([EqL1a,EqL1b,EqL1c], [x,y,a1]);

'f3(-1/sqrt(2),-1/sqrt(2))=f3(-1/sqrt(2),-1/sqrt(2));
'f3(1/sqrt(2),1/sqrt(2))=f3(1/sqrt(2),1/sqrt(2));

Fijémonos que como que y>0 sólo consideraremos el segundo punto.

L2(x,y,a2):= f3(x,y)+a2*y;
EqL2a:diff(L2(x,y,a2),x)=0;  EqL2b:diff(L2(x,y,a2),y)=0;  EqL2c:diff(L1(x,y,a2),a2)=0;
algsys([EqL2a,EqL2b,EqL2c], [x,y,a2]);

No hay solución y por lo tanto no tendremos ningún extremo.

'f3(-1,0)=f3(-1,0);
'f3(0,1)=f3(0,1);