# Ejercicio 11.14

kill(all)$

## Apartado a)

f1(x,y):= x^3+3*y^3-x^2+y^2;
u=u:[1,2];

modul_u=m_u:sqrt(1^2+2^2);   
'u[1]=u1: u/m_u;

'Jf(x,y) = Jfxy : jacobian ([f1(x,y)] , [x,y] );

define (F(x,y) , Jfxy.u1) ;

Ya tenemos definida la función que establece la derivada direccional de esta función en el punto (x,y) en la dirección definida por u1=(1,2).
Ahora hay que seguir el procedimiento para determinar los extremos de esta función.

define ( DxF(x,y) , diff(F(x,y),x) );
define ( DyF(x,y) , diff(F(x,y),y) );

Puntos estacionarios

Sist01: [DxF(x,y)=0 , DyF(x,y)=0]$
solve(Sist01);

Ahora estudiaremos de que tipo de punto se trata

'HF(x,y)=HFxy:hessian( F(x,y) , [x,y]);

'HF(P)=HFP:subst([x=1/3,y=-1/9],HFxy);

detHFP = determinant(HFP);

Como que el determinante es positivo y el primer menor es también positivo, la forma cuadrática 
asociada es definida positiva y, por lo tanto, el extremo es un mínimo local.

Valor mínimo de la derivada:

x1:1/3$     y1:-1/9$     F(x1,y1);