# Exercici 11.8

kill(all)$

## Apartat 1)

f1(x,y,z,u):= x^3*z+y^3*u^2-1;
f2(x,y,z,u):= x*y^2+2*z*u^3;
f(x,y,z,u):=  [f1(x,y,z,u) , f2(x,y,z,u)] ;

'f1(0,1,0,1)=f1(0,1,0,1);
'f2(0,1,0,1)=f2(0,1,0,1);

'JF(x,y,z,u)=JFxyzu:jacobian( f(x,y,z,u) , [x,y,z,u]);

'JF(0,1,0,1)=JF0101:subst([x=0,y=1,z=0,u=1],JFxyzu);

load ("eigen")$
H=H:columnvector([x,y-1,z,u-1]);

JF0101.H = matrix([0],[0]);

Finalment, el sistema lineal resulta:
3y+2u-5=0
x+2z=0

## Apartat 2)

Comprovarem que es compleixin les condicions de la funció implícita

1.Les funcions f1 i f2 són del tipus Cr amb r>=1

2.

'f1(0,1,0,1)=f1(0,1,0,1);
'f2(0,1,0,1)=f2(0,1,0,1);

3.

'Jf(x,y,z,u)=Jfzu:jacobian([f1(x,y,z,u),f2(x,y,z,u)],[z,u]);

'Jf(0,1,0,1)=Jf0101:subst([x=0,y=1,z=0,u=1], Jfzu);

detJf0101=determinant(Jf0101);

Per tant, existeixen dues funcions implícites diferenciables z=z(x,y), u=u(x,y)
tals que z(0,1)=0, u(0,1)=1

## Apartat 3)

depends([z,u], [x,y]);

DxEq1:diff(x^3*z+y^3*u^2-1,x)=0;
DxEq2:diff(x*y^2+2*z*u^3,x)=0;

Aplicant al punt (0,1) tal que z(0,1)=0 i u(0,1)=1 tindrem

'DxEq11=DxEq11:0^3*('diff(z,x,1))+3*0^2*0+2*1*('diff(u,x,1))*1^3=0;
'DxEq21=DxEq21:2*1^3*('diff(z,x,1))+6*1^2*('diff(u,x,1))*0+1^2=0;

Sist01:[DxEq11,DxEq21];

solve(Sist01,['diff(z,x),'diff(u,x)]);

DyEq1:diff(x^3*z+y^3*u^2-1,y)=0;
DyEq2:diff(x*y^2+2*z*u^3,y)=0;

Aplicant al punt (0,1) tal que z(0,1)=0 i u(0,1)=1 tindrem

'DyEq12=DyEq21:0^3*('diff(z,y,1))+2*1*('diff(u,y,1))*1^3+3*1^2*1^2=0;
'DyEq22=DyEq22:2*1^3*('diff(z,y,1))+6*1^2*('diff(u,y,1))*0+2*0*1=0;

Sist02:[DyEq21,DyEq22];

solve(Sist02,['diff(z,y),'diff(u,y)]);

## Apartat 4)

'Jfimp=Jfimp:matrix([-1/2, 0],[0,-3/2]);

detJfimp=determinant(Jfimp);

Per tant es compleix que el determinant de la matriu jacobiana en el punt és no nul

Per calcular la jacobiana de la funció inversa només haurem de calcular
la inversa de la jacobiana de la funció, en el punt corresponent.

'invJfimp(0,1)=invJfimp01:invert(Jfimp);