# Exercici 11.6

kill(all)$

## Apartat 1)

F1(x,y,u,v):= x-u^2+v^2;  
F2(x,y,u,v):= y-2*u*v;
f(x,y,u,v):=  [F1(x,y,u,v) , F2(x,y,u,v)] ;

'Jf(x,y,u,v) = Jfuv: jacobian( f(x,y,u,v) , [x,y,u,v]) ;

'Jf(0,2,1,1)=JfP:subst([x=0,y=2,u=1,v=1],Jfuv);

h = h: matrix ([x] , [y-2] , [u-1] , [v-1]);

JfP.h = matrix ( [0] , [0]);

## Apartat 2)

Les funcions components són de tipus Cinf en el seu camp d'existència i, en conseqüència, ho serà la funció f(x,y,u,v)=(F1,F2).
Cal verificar que es compleixen les condicions del teorema de la funció implícita:

'F1(0,2,1,1)=F1(0,2,1,1); 
'F2(0,2,1,1)=F2(0,2,1,1);

'Jf(x,y,u,v) = Jfuv: jacobian( f(x,y,u,v) , [u,v]) ;

'Jf(0,2,1,1)=Jf11:subst([u=1,v=1],Jfuv);

detJf11=determinant(Jf11);

Per tant, es defineixen  u(x,y)  i  v(x,y)  funcions implícites diferenciables.

## Apartat 3)

depends([u,v], [x,y]);

### Derivades respecte de x

DxEq1:diff(F1(x,y,u,v) ,x)=0;
DxEq2:diff(F2(x,y,u,v) ,x)=0;

Aplicant al punt (0,2) tal que u(0,2)=1, v(0,2)=1 tenim:

DxEq11_P:  2*1 *Dxv(0,2) - 2*1*Dxu(0,2) + 1=0;
DxEq21_P: -2*1*Dxv(0,2) - 2*1*Dxu(0,2) = 0;

Sist01:[DxEq11_P , DxEq21_P];

solve(Sist01,[Dxu(0,2) , Dxv(0,2) ]);

### Derivades respecte de y

DyEq1:diff(F1(x,y,u,v) ,y)=0;
DyEq2:diff(F2(x,y,u,v) ,y)=0;

Aplicant al punt (0,2) tal que u(0,2)=1, v(0,2)=1 tenim:

DyEq21_P : 2*1*Dyv(0,2) - 2*1*Dyu(0,2) = 0;
DyEq22_P : -2*1*Dyv(0,2) - 2*1*Dyu(0,2) + 1=0;

Sist02:[DyEq21_P,DyEq22_P];

solve(Sist02,[Dyu(0,2) , Dyv(0,2) ] );