# Exercici 11.4

kill(all)$

f1(x,y):= x^2*y + 4*x^4*y^3 - 5 ;

Primer de tot comprovarem que compleixi les condicions del teorema de la funció implícita.
La funció es de tipus C1 i, per tant, diferenciable.

'f1(1,1) = f1(1,1);

Ara calcularem la derivada de la funció respecte la variable que es demana verificar que es pot expressar com funció implícita

define (Dyf1(x,y) , diff(f1(x,y),y) );
'Dyf1(1,1) = Dyf1(1,1);

Per tant es compleixen les condicions del Teorema.
A partir d'ara es considera que y = y(x) i deixa de ser una variable.

depends([y],[x]);

Calculem la derivada de primer ordre

DxEq1 : diff(f1(x,y) , x)=0;

Substituïm en el punt P(1,1)

DxEq1_P : 12*1*1*Dy(1) + 1*Dy(1) + 16*1*1 + 2*1*1 = 0;

Per tant:

Dy(1) = -18/13;

Calculem la derivada de segon ordre

DxxEq1 : diff(DxEq1 , x) = 0;

Substituïm en el punt P(1,1)

DxxEq1_P : 12*1*1*D2y(1) + 1*D2y(1) + 24*1*1*(-18/13)^2 + 96*1*1*(-18/13) + 4*1*(-18/13) + 48*1*1 + 2*1 = 0;

Per tant:

D2y(1) = 7174/(169*13);