# Exercici 11.2

kill(all)$

## Apartat a)

f1(x,y):= exp(2*x)-exp(y);   
f2(x,y):= exp(y);
f(x,y):=  [f1(x,y) , f2(x,y)];

Les funcions components són de tipus C1 en el seu camp d'existència i, en conseqüència, ho serà la funció f(x,y)=(f1,f2)

'Jf(x,y) = Jfxy: jacobian( f(x,y) , [x,y]) ;

'detJf(x,y) = detJfxy: determinant(Jfxy);

El determinant és > 0 per a tot valor de (x,y) de R2.
Per tant, f és localment invertible i la inversa és diferenciable

## Apartat b)

Eq1: u = f1(x,y);   
Eq2: v = f2(x,y);
solve([Eq1,Eq2], [x,y]);

Hem de transformar les equacions per poder resoldre el sistema

Eq1a: log(u+v) = 2*x;   
Eq2a: log(v) = y;
solve([Eq1a,Eq2a], [x,y]);

Per tant la f^{-1}(u,v)=((1/2)*log(u+v), log(v))

## Apartat c)

finv1(u,v):= (1/2)*log(u+v) ;
finv2(u,v):= log(v) ;
finv(u,v):= [finv1(u,v) , finv2(u,v)];

'Jf_inv(u,v)=Jfinv :jacobian ( finv(u,v) , [u,v]) ;

'Jf_inv(x,y)=Jfinv2: subst ( [u=exp(2*x)-exp(y), v=exp(y)] , Jfinv) ;

Jfxy.Jfinv2 ;

Per tant, queda comprovat que les matrius jacobianes en (x,y) són inverses.