# Exercici 11.20

kill(all)$

## Primera part

Designem: x, radi de la base de la llauna (forma de cilindre recte circular)
                       y, altura de la llauna
V = 330 cl

Superfície i volum de la llauna: 

S(x,y):=2*%pi*x*y + 2*(%pi*x^2);

V(x,y):=%pi*x^2*y;

Funció de Lagrange:

L(x,y,L) := S(x,y) + L*(V(x,y) - V) ;

Derivades parcials de la funció de Lagrange:

Eq1 : diff(L(x,y,L),x)=0;  
Eq2 : diff(L(x,y,L),y)=0;  
Eq3 : V(x,y) - V = 0;
algsys([Eq1, Eq2, Eq3], [x,y,L]);

La única solució amb sentit és la primera

x1 = x1:V^(1/3)/(2^(1/3)*%pi^(1/3));
y1 = y1:(2^(2/3)*V^(1/3))/%pi^(1/3);

Superfície mínima:

S(x1,y1) ;

## Segona part

V = V:330;

Eq1: V = %pi*x^2*y;
solve (Eq1, y);

define (f(x) , S(x, 330/(%pi*x^2) ));

Dimensions de la llauna de superfície mínima:

x1,  numer;
y1, numer;

Gràfica de la superfície en funció del radi de la base de la llauna

wxplot2d([f(x)], [x,1,10], [y, 0, 900], [ylabel, ""] , [legend, "f(x)"] , [style, [lines, 2]] ,
 [gnuplot_preamble, "set grid;"])$