# Exercici 11.16

kill(all)$

## Apartat a)

f1(x,y):=x^2+y^2;

La funció és diferenciable i, per tant,continua en el seu domini.
El subconjunt K és tancat i fitat i,per tant, compacte. En conseqüència, la funció
té extrems absoluts en aquest subconjunt.

Dxf1:diff(f1(x,y),x);
Dyf1:diff(f1(x,y),y);

Punt crític igual a P(0,0).
Calcularem la funció de Lagrange i l'estudiarem en els punts frontera de K: Q1(1,0),Q2(0,1).

L(x,y,a):=f1(x,y)+a*(x+y-1);
Eq1a:diff(L(x,y,a),x)=0;  Eq1b:diff(L(x,y,a),y)=0;  Eq1c:diff(L(x,y,a),a)=0;
algsys([Eq1a,Eq1b,Eq1c], [x,y,a]);

'f1(1/2,1/2)=f1(1/2,1/2);

'f1(1,0)=f1(1,0);
'f1(0,1)=f1(0,1);

Per tant tindrem el mínim absolut en (1/2,1/2) amb f1mín=1/2
i un màxim absolut en Q1 i Q2 amb f1màx=1.

## Apartat b)

kill(all)$

f2(x,y):= x^2+y^2;

Dxf2:diff(f2(x,y),x);
Dyf2:diff(f2(x,y),y);

Eq1:2*x=0;
Eq2:2*y=0;

Sist01:[Eq1,Eq2];
solve(Sist01);

El punt P=(0,0) no pertany a l'interior del conjunt K i per tant no hi ha
punts estacionaris a l'interior.
Estudiarem els punts frontera: {y+x^2-1=0} U {y=0}.

L1(x,y,a1):=f2(x,y)+a1*(y+x^2-1);
EqL1a:diff(L1(x,y,a1),x)=0;  EqL1b:diff(L1(x,y,a1),y)=0;  EqL1c:diff(L1(x,y,a1),a1)=0;
algsys([EqL1a,EqL1b,EqL1c], [x,y,a1]);

Per tant els punts a estudiar seran P1(0,1), P2(-1/sqrt(2),1/2), P3(1/sqrt(2),1/2).

'f2(0,1)=f2(0,1);
'f2(-1/sqrt(2),1/2)=f2(-1/sqrt(2),1/2);
'f2(1/sqrt(2),1/2)=f2(1/sqrt(2),1/2);

L2(x,y,a2):=f2(x,y)+a2*y;
EqL2a:diff(L2(x,y,a2),x)=0;  EqL2b:diff(L2(x,y,a2),y)=0;  EqL2c:diff(L2(x,y,a2),a2)=0;
algsys([EqL2a,EqL2b,EqL2c], [x,y,a2]);

Per tant el punt a estudiar serà Q1=(0,0).

'f2(0,0)=f2(0,0);

A més, cal considerar els punts singulars de la frontera de K, que són P4(-1,0), P5(1,0).

'f2(-1,0)=f2(-1,0);
'f2(1,0)=f2(1,0);

Per tant tindrem uns màxims absoluts en P1, P4 i P5 i un mínim absolut en Q1.

## Apartat c)

kill(all)$

f3(x,y):=x+y;

Dxf3:diff(f3(x,y),x);
Dyf3:diff(f3(x,y),y);

Com que la derivada no s'anul·la mai, no tindrem punts crítics a l'interior de K.

L1(x,y,a1):= f3(x,y)+a1*(x^2+y^2-1);
EqL1a:diff(L1(x,y,a1),x)=0;  EqL1b:diff(L1(x,y,a1),y)=0;  EqL1c:diff(L1(x,y,a1),a1)=0;
algsys([EqL1a,EqL1b,EqL1c], [x,y,a1]);

'f3(-1/sqrt(2),-1/sqrt(2))=f3(-1/sqrt(2),-1/sqrt(2));
'f3(1/sqrt(2),1/sqrt(2))=f3(1/sqrt(2),1/sqrt(2));

Fixem-nos que com que y>0 només considerarem el segon punt.

L2(x,y,a2):= f3(x,y)+a2*y;
EqL2a:diff(L2(x,y,a2),x)=0;  EqL2b:diff(L2(x,y,a2),y)=0;  EqL2c:diff(L1(x,y,a2),a2)=0;
algsys([EqL2a,EqL2b,EqL2c], [x,y,a2]);

No hi ha solució i per tant no tindrem cap extrem.

'f3(-1,0)=f3(-1,0);
'f3(0,1)=f3(0,1);