# Exercici 11.15

kill(all)$

f1(x,y,z):= x*y*z+sin(z-3)-x^2*y^2-x-y;

Primer de tot comprovarem que compleixi les condicions del teorema de la funció implícita

'f1(1,1,3)=f1(1,1,3);

Ara calcularem la derivada de la funció respecte la variable que es demana verificar que es pot expressar com funció implícita

define (Dzf1(x,y,z) , diff(f1(x,y,z),z) );
'Dzf1(1,1,3)=Dzf1(1,1,3);

Per tant es compleixen les condicions del Teorema.

depends([z],[x,y]);

DxEq1 : diff(x*y*z+sin(z-3)-x^2*y^2-x-y,x)=0;
DyEq1 : diff(x*y*z+sin(z-3)-x^2*y^2-x-y,y)=0;

Substituïm en el punt P(1,1,3)

DxEq1_P : cos(3-3)*('diff(z,x,1))+1*1*('diff(z,x,1))+1*3-2*1*1^2-1=0;
DyEq1_P : cos(3-3)*('diff(z,y,1))+1*1*('diff(z,y,1))+1*3-2*1^2*1-1=0;

Dxz(0,0)=0;    Dyz(0,0)=0;

Per tant, el punt (1,1) és un punt estacionari crític de la funció z.
Per tal d'establir si hi ha extrem i classificar-lo, cal calcular les derivades segones.

DxxEq1 : diff(cos(z-3)*('diff(z,x,1))+x*y*('diff(z,x,1))+y*z-2*x*y^2-1,x)=0;
DyyEq1 : diff(cos(z-3)*('diff(z,y,1))+x*y*('diff(z,y,1))+x*z-2*x^2*y-1,y)=0;
DxyEq1:diff(cos(z-3)*('diff(z,x,1))+x*y*('diff(z,x,1))+y*z-2*x*y^2-1,y)=0;

DxxEq1_P:cos(3-3)*('diff(z,x,2))+1*1*('diff(z,x,2))-sin(3-3)*0^2+2*1*0-2*1^2=0;
DyyEq1_P:cos(3-3)*('diff(z,y,2))+1*1*('diff(z,y,2))-sin(3-3)*0^2+2*1*0-2*1^2=0;
DxyEq1_P:-sin(3-3)*0*0+1*0+cos(3-3)*('diff(z,x,1,y,1))+1*1*('diff(z,x,1,y,1))+1*0+3-4*1*1=0;

Sist01:[DxxEq1_P,DyyEq1_P,DxyEq1_P];

solve(Sist01, ['diff(z,x,2),'diff(z,y,2),'diff(z,x,1,y,1)]);

'Hf1(1,1,3)=Hf1:matrix([1,1/2], [1/2,1]);

detHf1=determinant(Hf1);

Com que el determinant és positiu i el primer menor és igual a 1 i, per tant,
també positiu, la forma quadràtica associada a Hf1 és definida positiva, és a dir,
f(x,y)>f(P) per tot(x,y).
Per tant, l'extrem és un mínim local.