# Exercici 11.13

kill(all)$

## Apartat a)

f1(x,y):= x^2+x*y+y^2-6*x+3;

define ( Dxf1(x,y) , diff(f1(x,y),x) );
define ( Dyf1(x,y) , diff(f1(x,y),y) );

Punts estacionaris

Sist01: [Dxf1(x,y)=0 , Dyf1(x,y)=0]$
solve(Sist01);

Ara estudiarem de quin tipus de punt es tracta

'Hf1(x,y)=Hf1xy:hessian( f1(x,y) , [x,y]);

'Hf1(P)=Hf1P:subst([x=4,y=-2],Hf1xy);

detHf1P=determinant(Hf1P);

Com que el determinant és positiu i el primer menor és igual a 2 i, per tant, també positiu, la forma quadràtica associada a HfP és definida positiva, és a dir,
f(x,y)>f(P) per tot(x,y).
Per tant, l'extrem és un mínim local.

wxplot3d(f1(x,y), [x,3,5], [y,-3,-1], [legend, "f1(x,y)"] ,
 [gnuplot_preamble, "set pm3d at s; unset surf; unset colorbox"])$

## Apartat b)

f2(x,y):= 4*x+2*y-x^2+x*y-y^2;

define ( Dxf2(x,y) , diff(f2(x,y),x) );
define ( Dyf2(x,y) , diff(f2(x,y),y) );

Punts estacionaris

Sist01: [Dxf2(x,y)=0 , Dyf2(x,y)=0]$
solve(Sist01);

Ara estudiarem de quin tipus de punt es tracta

'Hf2(x,y)=Hf2xy:hessian(f2(x,y) , [x,y]);

'Hf2(P)=Hf2P:subst([x=10/3,y=8/3],Hf2xy);

detHf2P=determinant(Hf2P);

Com que el determinant és positiu i el primer menor és igual a -2 i, per tant, negatiu, la forma quadràtica associada a HfP és definida negativa, és a dir,
g(x,y)<g(P) per tot(x,y).
Per tant, l'extrem és un màxim local.

wxplot3d(f2(x,y), [x, 0,7], [y,-5,5], [legend, "f2(x,y)"] ,
 [gnuplot_preamble, "set pm3d at s; unset surf; unset colorbox"])$