# Ejercicio 10.7

## Apartado a)

kill(all)$

f(x,y):=x^4 + 3*x^2 - 4*x*y;

define (Dxf(x,y) , diff(f(x,y), x) ); 
define (Dyf(x,y) , diff(f(x,y), y) );

La función es continua, derivable parcialmente y las derivadas parciales son funciones continuas (polinomios).
Por lo tanto la función es de clase C1 y, por lo tanto, es diferenciable en R^2.

Jf(x,y) = Jf:jacobian([f(x,y)] , [x,y]);

'Jf(1,2) = subst([x=1,y=2], Jf);

'Jf(x0,y0) = subst([x=x0,y=y0], Jf);

## Apartado b)

kill(all)$

f(x,y):=4*x*y+x/(2*y)-sqrt(x^2+3*y^2);

define (Dxf(x,y) , diff(f(x,y), x) ); 
define (Dyf(x,y) , diff(f(x,y), y) );

La función es continua, derivable parcialmente y las derivadas parciales son funciones continuas en A = R2 - {y=0}.
Por lo tanto la función es de clase C1 y, por lo tanto, es diferenciable en A.

Jf(x,y) = Jf:jacobian([f(x,y)] , [x,y]);

'Jf(1,2) = subst([x=1,y=2], Jf);

'Jf(x0,y0) = subst([x=x0,y=y0], Jf);

## Apartado c)

kill(all)$

f(x,y):=%e^(-y^2/(2*x)) ;

define (Dxf(x,y) , diff(f(x,y), x) ); 
define (Dyf(x,y) , diff(f(x,y), y) );

La función es continua, derivable parcialmente y las derivadas parciales son funciones continuas en A = R2 - {x=0}.
Por lo tanto la función es de clase C1 y, por lo tanto, es diferenciable en A.

Jf(x,y) = Jf:jacobian([f(x,y)] , [x,y]);

'Jf(2, -1) = subst([x=2,y=-1], Jf);

'Jf(x0,y0) = subst([x=x0,y=y0], Jf);

## Apartado d)

kill(all)$

f(x,y):=x^2*y+sin(x*y);

define (Dxf(x,y) , diff(f(x,y), x) ); 
define (Dyf(x,y) , diff(f(x,y), y) );

'Jf(x,y)=Jf:jacobian([f(x,y)],[x,y]);

'Jf(0,0)=subst([x=0 ,y=0], Jf);