# Exercici 10.9

## Apartat a)

kill(all)$

f1(x,y):=(x^2+y^2)/(x*y);
f2(x,y):=x+y;

Dxf1(x,y)=diff(f1(x,y),x);        
Dyf1(x,y)=diff(f1(x,y),y);  
Dxf2(x,y)=diff(f2(x,y),x);        
Dyf2(x,y)=diff(f2(x,y),y);

F21(t):=(f2(t,0)-f2(0,0))/t;     
F22(t):=(f2(0,t)-f2(0,0))/t;

L1=limit( F21(t) , t, 0);  
L2=limit( F22(t) , t, 0);

'Jf(x,y)=Jf:jacobian([f2(x,y)],[x,y]);

'Jf2(0,0)=subst([x=1,y=2], Jf);

## Apartat b)

Ho farm de dues maneres. En primer lloc veurem que la funció no és diferenciable a l'origen

df00(x,y):=x+y;

(f1(x,y) - df00(x,y))/(sqrt(x^2+y^2));

ratsimp(%);

Qxy: ((1-x)*y^2+x^2*(1-y))/(x*y*sqrt(y^2+x^2));

Qxx = Qxx:subst([x=x,y=x], Qxy);

g(x):=(sqrt(2)*(1-x))/abs(x);

limit(g(x), x, 0);

Ara ho farem calculant la derivada direccional en la direccio de qualsevol vector unitari

(f1(t*u1, t*u2) - 0)/t;

ratsimp(%);

g(t):=(1)/(t*u1*u2);

limit(g(t), t, 0);

Per tant, l'afirmació és falsa.