# Exercici 10.12

## Apartat a)

kill(all)$

f(x,y):=x^4+3*x^2-4*x*y;

'f(1,0) = f(1,0);

define (Dxf(x,y) , diff(f(x,y),x,1) );
define (Dyf(x,y) , diff(f(x,y),y,1) );

Jf(x,y) = Jf: jacobian ( [f(x,y)] , [x,y]);

'Jf(1,0) = Jf10: subst( [x=1, y=0], Jf);

z - 4 = 10*(x-1) + (-4)*y ;

expand(%);

Equació del pla tangent: 10x - 4y -z -6 = 0.
Vector director del pla tangent:

n=n:[10,-4,-1];

Equació de la recta normal:   (x-1)/10 = y/4 = (z-4)/-1

## Apartat b)

kill(all)$

z=2*sin(x*y); 
f(x,y):=2*sin(x*y);

 a=a:[1,%pi];          
P=P:[1,%pi,0];

f(1,%pi)=2*sin(x*y);

define (Dxf(x,y) , diff(f(x,y),x,1) );
define (Dyf(x,y) , diff(f(x,y),y,1) );

'Dfx(1,%pi)=Dfx(1,%pi);
'Dfy(1,%pi)=Dfy(1,%pi);

Jf(x,y) = Jf: jacobian ( [f(x,y)] , [x,y]);

'Jf(1,%pi) = Jf1%pi: subst( [x=1, y=%pi], Jf);

'h=h:matrix([x-1],[y-%pi]);

z=Jf1%pi.h;

ratsimp(%);

-2*%pi*x-2*y-z+4*%pi=0;

És l'equació del pla tangent:

n=n:[-2*%pi,-2,-1];

(x-1)/(-2*%pi)=(y-%pi)/-2=-z   És l'equació de la recta normal

## Apartat c)

kill(all)$

z=1+y+log(x/y); 
f(x,y):=1+y+log(x/y);

 a=a:[1,1];          
P=P:[1,1,2];

f(1,1)=1+y+log(x/y);

define (Dxf(x,y) , diff(f(x,y),x,1) );
define (Dyf(x,y) , diff(f(x,y),y,1) );

'Dfx(1,1)=Dfx(1,1);
'Dfy(1,1)=Dfy(1,1);

Jf(x,y) = Jf: jacobian ( [f(x,y)] , [x,y]);

'Jf(1,1) = Jf11: subst( [x=1, y=1], Jf);

'h=h:matrix([x-1],[y-1]);

z=Jf11.h;

Equació del pla tangent:    x - z - 1 = 0

Equació de la recta normal:     (x-1)/1 = (y-1)/0 = (z-2)/(-1)  