# Exercici 01.5

kill(all)$

## apartat a)

n=1

1;      1^2;

n=2

1 + 3;      2^2;

Hipotesi induccio:
1 + 2 + ... + (2n-3)=(n-1)^2

Hip_induc:(n-1)^2;

Hip_induc + (2*n-1);

ratsimp(%);

## apartat b)

kill(all)$

n=1

2;      1*(1+1);

n=2

2 + 4;      2*(2+1);

Hipotesi induccio:
2 + 4 +  ... + (2n-2)=(n-1)*n

Hip_induc:(n-1)*n;

Hip_induc + (2*n);

ratsimp(%);

factor(%);

## apartat c)

kill(all)$

n=1

1^3;        1^2;

n=2

1^3 + 2^3;      (1 + 2)^2;

Hipòtesi d'inducció:
1^3 + 2^3 + ... + (n-1)^3 = (1 + 2 + ... + (n-1))^2

S_n:sum(k, k, 1, n-1)$         'Tn=Tn:Sn^2;     'Un=Un:sum(k^3, k, 1, n-1);
Tn=Un;

(Un + n)^2;

expand(%);

Un + 2*n*(n*(n-1)/2) + n^2;

ratsimp(%);

## apartat d)

kill(all)$

n=1

1^3 + (1+1)^3 + (1+2)^3;

divide(%,9);

n=2

2^3 + (2+1)^3 + (2+2)^3;

divide(%,9);

Hipotesi induccio:
(n-1)^3 + (n)^3 + (n+1)^3 = 9*a

9*a - (n-1)^3 + (n+2)^3;

expand(%);

factor(%);