# Exercici 11.14

kill(all)$

## Apartat a)

f1(x,y):= x^3+3*y^3-x^2+y^2;
u=u:[1,2];

modul_u=m_u:sqrt(1^2+2^2);   
'u[1]=u1: u/m_u;

'Jf(x,y) = Jfxy : jacobian ([f1(x,y)] , [x,y] );

define (F(x,y) , Jfxy.u1) ;

Ja tenim definida la funció que estableix la derivada direciconal d'aquesta funció en el punt (x,y) en la direcció definida per u1=(1,2).
Ara cal seguir el procediment per determinar els extrems d'aquesta funció.

define ( DxF(x,y) , diff(F(x,y),x) );
define ( DyF(x,y) , diff(F(x,y),y) );

Punts estacionaris

Sist01: [DxF(x,y)=0 , DyF(x,y)=0]$
solve(Sist01);

Ara estudiarem de quin tipus de punt es tracta

'HF(x,y)=HFxy:hessian( F(x,y) , [x,y]);

'HF(P)=HFP:subst([x=1/3,y=-1/9],HFxy);

detHFP = determinant(HFP);

Com que el determinant és positiu i el primer menor és també positiu, la forma quadràtica 
associada és definida positiva i, per tant, l'extrem és un mínim local.

Valor mínim de la derivada:

x1:1/3$     y1:-1/9$     F(x1,y1);